Matematiğin ana dallarından biri olan Topoloji, Yunanca'da yer, yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos sözcüklerinden türetilmiştir. Topoloji biliminin kuruluş aşamalarında yani 19. yüzyılın ortalarında, bu sözcük yerine aynı dalı ifade eden Latince analysis situs (konumun analizi) deyimi kullanılıyordu.

Topoloji sözcüğü bir topolojik uzayı tanımlamak için inşa edilen ve belli koşulları sağlayan kümeler ailesi için de kullanılır. Aşağıdaki matematiksel tanımda bu koşullar sıralanmıştır. Topolojik yapı, geometri bağlamında bir kümenin üzerine konabilecek en basit yapı olarak görülebilir. Başka bir deyişle, topoloji, geometri yapmak için atılan ilk adımdır.

Üzerine topoloji konmuş iki küme arasındaki geçiş, ancak topolojileri gözeten ve sürekli denen gönderimlerle olasıdır. İki topolojik uzayın denkliği, aralarında topolojiyi koruyan ve homeomorfizma denen sürekli bir gönderimin varlığıyla ortaya çıkar. Kabaca, bu tür gönderimler topolojik nesneleri yırtmadan ve koparmadan, eğip bükerek sürekli bir biçimde bir başka nesneye dönüştürür.

Geometri günlük yaşamın hemen her alanında gereklidir. Geometride uzunluk, alan, yüzey, açı gibi kavramlar bazı nicelikleri belirlemede kullanılır. Geometri’nin en çok iç içe olduğu dallar; cebir ve trigonometri, mimarlık, mühendislikler (Yol, köprü, yapı, makine, gemi ve uçak yapımı; maden, su ve elektrik işleri gibi bayındırlık ve zanaatla ilgili teknik çalışmalar, vb.) , endüstiryel alanlar, simülasyonlar, bilgisayar programları ve grafikleri, sibertenik, tasarım, sanat vb.dir Geometrinin kullanılmadığı meslek ya da alan yok gibidir desek yerinde olur.

Geometri ve Sanat
Geometri ve perspektif
Geometri ve Simülasyon
Geometri ve Haritacılık
Geometri ve Mimari

Cebirsel yöntemlerin etkinliğini ve gücünü gösteren Descartes (1596 -1650), her tür düzlem geometri problemini bir denklemler dizisine indirgedi. Yani geometriyi aritmetikleştirdi. Bu dönemden sonra, sayısal koordinatlara dayanan bir gösterim biçimi kullanıldı ve şekilleri fonksiyonlar olarak ele aldı. Analitik geometri adı verilen bu yön­tem, büyük bir ilerleme kaydetti. On sekizinci yüzyılda üç boyutlu uzay ve yüzeyler kuramını da kapsamına aldı. Bununla birlikte bu yaklaşım, yanlış olarak birleşmiş geometri de denilen arı geometrideki şekillerin sezgisel anlamından uzaklaştı.

On dokuzuncu yüzyıl boyunca, Rönesans’tan beri sanatçılar tarafından araştırılan gösterim tekniklerine, izdüşümsel geometri sistemleştirilerek matematiksel bir içerik kazandırdı. Böylece, bireşimsel yaklaşımın geri dönüşüne tanık olundu. Çünkü, Fran­sız matematikçi Poncelet (1788 -1867) ve Chasles (1793 -1880), şekilleri, bazı özel­liklerini koruyarak değiştiren dönüşümlerin önemini gösterdiler.

Klasik geometri sadece pergel ve cetvel yapımı üzerinedir. Ancak daha sonraları bu yapımın soyut cebirle olan bağlantısı anlaşılınca geometri ile cebir arasında sınırlar kaybolmaya başlamıştır. Geometrideki kilometre taşları şöyle sıralanabilir. İsa’dan önce Thales, Öklites. Apollonios, Archimedes ilk akla gelenlerdendir. Daha sonra Descartes (1637), Desar-ques (1639), Lazer Carnot (1803), Jean Victor Poncelet (1822), Janos Bolyai (1823), Mİchei Chasles (1837), N. Lobaçevsky (1840), Bernard Riemann (1867), C. Fe1ix Klein (1872), David Hilbert (1899) ve Albert Einstein (1921) olarak sayılabilir.

Benzer üçgenler kavramı Thales (M.Ö. 600) ve onun öncesinden başlamış, Eude-mus’la (M.Ö. 335) devam etmiştir. Benzer üçgenler Thales tarafından yanına varılamayan uzaklıkların ölçülmesinde kullanılmıştır. Bugün orta dereceli okullarda okutulan Thales teoremleri çok sevilen kurallardır. Yalnız, yanına varılamayan uzaklıkları ölçen ilkel bazı araçlar Babilliler tarafından yapılmıştır. Öklit,, Babillilerin bu aletinin karışık bir şekil olduğunu yazar. Bir şekle uydurup ispatını da veremez. Bu şeklin ispatını da­ha sonraki yüzyıllarda el Nairizi yazarı bilinmeyen birinin açıklamalarına dayandırarak verir Bunun en iyi ürünlerini de Napolyon’un (1769 -1821) matematikçileri almıştır.

Şimdi, Öklit’in beş aksiyomunu yazalım; 1. Aynı şeye eşit olan şeyler eşittir,2. Eşit şeylere eşit çokluklar eklenirse sonuç yine eşittir,3. Eşit şeylerden eşit çokluklar çıkarılırsa sonuç yine eşittir,4. Birbirleriyle çakışan şeyler birbirine eşittir,5. Bütün, parçalarından büyüktür.

Şimdi de postülatlara bazı örnekler verelim.

1. iki noktadan bir doğru geçer,

2. iki nokta arasındaki sürekli doğru sonludur,

3. Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir çemberdir,

4. Tüm dik açılar birbirine eşittir,

5. İki doğru bir doğru ile kesildiğinde kesenin bir tarafında oluşan iki iç açının toplamı 180 dereceden küçükse, bu iki doğru bu 180 dereceden küçük açıların bulun­duğu tarafta kesişirler.

Bu postülatlar daha sonraki Yunanlı bilginler tarafından çok İncelendi ve geliştirildi. Sidonlu Zeno (İ. Ö. I. yüzyıl) farklı iki doğrunun ortak bir doğru parçası yoktur. Dördüncü ve beşinci postulatların birer teorem olduğu yine ileri sürülmüştür. Proclus (460) dör­düncü postulatı bir teorem olarak almış, ispatlamaya çalışmış fakat başaramamıştır. Bu postülatın tersinin doğru olmasının gerekmediğini de ileri sürmüş ve bunu ispatla­mıştır. Saccheri (1773) bu postülatı farklı bir yolla ispatlamıştır.

Öklit geometrisinin temeli nokta ile başlar. Pisagorcular noktayı küçük bir zerre olarak tanımlamışlardır. Bu tanım aslında Aristo’dan (İ. Ö. 340) alınmıştır. Eflatun (i. ö. 380), noktayı bir doğrunun başlangıcı olarak tanımlamıştır. Bu kez doğru nedir sorusu karşımıza çıkmaktadır. Altıncı yüzyılda yaşayan Simplicus, uzunluğun başlangıcı ve buradan doğru uzar. Ayrıca bölünemez diye noktayı tanımlamıştır. Hiçbir parçası ol­mayan ize nokta denir tanımını Öklit (İ.Ö. 300) yapmıştır. Heron (50) da aynı sözcü­ğü kullanmış, noktayı boyutsuz bir limit veya doğrunun bir limitidir şeklinde söylemiştir. Capella (460), hiçbir parçası olmayan şeye nokta denir demiştir. Modern yazarlar nok­tayı sanki tanımlı bir limit kavramıdır diye almışlardır. Dönemimizde de, nokta kabul edilen bir kavramdır. Noktayı kabul ettikten sonra işler kolaylaşır.

Eflatuncular, ensiz uzunluğa doğru demişlerdir. Aynı tanımı Öklit de almıştır. Yani noktanın hareketinden doğru elde edilir. Doğrunun hareketiyle yüzey ve yüzeyin hareket ile de hacim oluşturulur. Bundan sonra doğru, yarı doğru, doğru parçası, yü­zey, düzlemsel yüzey, açı, çember, daire, çap, yarıçap, paralel doğrular ve dik doğrular gibi bir dizi geometrik tanımlar getirilmiştir.

İspatlanamayan gerçeklere aksiyom ismi verilir. Açıkça görülen fakat ispatlana-mayan gerçeklere de postülat denir. Euciit’in geometrisi tanım, aksiyom ve postülatlar üzerine kurulmuştur. Zaten matematik aksiyomatik bir düşüncedir. Belli şeyleri kabul ederseniz: onun üzerine matematiği kurarsınız.

Simetri, insan zihni için âdeta büyüleyicidir. Tabiattaki simetrik nesnelere, Güneş ve gezegenler gibi neredeyse kusursuz simetrik kürelere, kar tanecikleri gibi simetrik kristallere -ki hiçbir kar tanesi birbirinin aynısı değildir-, hemen hemen simetrik olan çiçeklere bakmaktan hepimiz zevk alırız. Ancak, burada ele alınacak olan mevzu, tabiattaki nesnelerin simetrisi değil, tabiat kanunlarının simetrisidir.

Bir cismin simetrik olup olmadığı kolayca anlaşılabilir; ama bir fizik kanunu nasıl simetrik olabilir? Fizikçiler, nesnelerdeki simetrinin uyandırdığı hisse benzer bir şeyi fizik kanunları için de hissederek ona, “Fizik Kanunlarında Simetri” ya da “Kanunların Simetrisi” adını vermişlerdir. Öyleyse simetri nedir? Meselâ kare hususî bir simetriye sahiptir. Onu 90 derece döndürürsek -sağ ya da sol fark etmez- yine aynı görünür.

Alman matematikçi Hermann Weyl simetri için çok güzel bir tanım vermiştir: “Eğer bir nesne üzerinde bir şey yaptıktan sonra da nesne ilk hâlinde görünüyorsa, eğer nesnede bunu yapmaya imkân veren bir şey varsa, o nesneye simetrik denir.” İşte fizik kanunları da bu anlamda simetriktir.

6 , 28 ,496 gibi kendisi hariç bütün pozitif çarpanları toplamı kendisine eşit olan sayılara denir. Mükemmel sayılar sonsuz tanedirler. Genel formülleri henüz bulunamamıştır. Ancak 2ⁿ(2ⁿ⁺¹-1), sayısının her n çift sayısı ve 1 için mükemmel sayı olduğu görülebilir. Tabi buradan mükemmel sayıların çift sayı oldukları anlamı çıkmamaktadır. Yani bu formülün tüm mükemmel sayıların ortak formülü olup olmadığı bilinmemektedir. Ancak şu ana kadar bir tane tek mükemmel sayı bulunamamıştır...

İlk 10 mükemmel sayı : 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216 ...

Doğada birbiriyle ilişkisiz canlı veya cansız ,sanatın her dalında, görsel, işitsel ve diğer tüm duyulara hitap eden iletişim şekillerinde, tasarımın biçimlenişinde ve hatta evrenin keşfedebildiğimiz bir çok düzeninde ortak bir düzenleme vardır. Bu düzenleme Altın Oran adı verilen bir sistem ve matematiksel açılımı olan bir oran-orantı kuralına sahiptir.