http://www.matematiknet.com/ ru Matematiknet.com | online matematik DataLife Engine http://www.matematiknet.com/paradokslar/88-dogru-parcasi-paradoksu.html http://www.matematiknet.com/paradokslar/88-dogru-parcasi-paradoksu.html Önce doğru parçasının tarifini yapalım:
Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan oluşan doğru. Pekiyi nokta nedir?
Nokta: Kalemin kağıda bıraktığı en küçük iz veya belirti.Malûmdur ki noktanın boyutu yoktur. O halde dikkat.
Paradoks başlıyor:
           Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez. 100 nokta veya 1 milyar nokta da yan yana geldiğinde herhangi bir şekil oluşturmaz.( Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan boyut özelliğini sağlamıyor) Bu şuna benzer ki; sıfır ile sıfırın toplamı yine sıfırdır. Milyarlarca sıfırı toplasak 'yarım' dahi etmez. O halde doğrunun tanımında bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez! Noktanın çok çok az da olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanın tarifi hatalı olur.
           Noktayı boyutlu kabul edelim.  Karşımıza bir paradoks daha çıkar; doğru parçasında sonsuz adet nokta olduğuna göre doğru parçasının da uzunluğu sonsuz olmalıdır. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir şeyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur.
Kaynak:Paradokslar.Com
]]> CrystaL Thu, 29 May 2008 17:59:16 -0700 http://www.matematiknet.com/paradokslar/89-karisim-paradoksu.html http://www.matematiknet.com/paradokslar/89-karisim-paradoksu.html           Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz. İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz. Şimdi sorumuz geliyor:
          Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır?
          Cevap şaşırtıcı gelebilir ama karışım oranları eşittir. İşte ispatı:
          Kabul edelim ki karışımımız homojen olmasın. Meselâ kahveye kattığımız süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit olacaktır. Veya:
          İlk karışımdan sonra kaşığımızın yarısı süt, yarısı da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır. Veya:
          İlk karışım homojen olsun. Aldığımız bir kaşık karışımın % 90 ını kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 ı kahvede kalmıştır. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur.

]]> CrystaL Thu, 29 May 2008 18:01:14 -0700 http://www.matematiknet.com/paradokslar/90-hempel-paradoksu.html http://www.matematiknet.com/paradokslar/90-hempel-paradoksu.html           Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtır!"
          Bu önermeyi iki şekilde ispatlayabiliriz:
a) Çok sayıda kuzgun görüp, hepsinin de siyah olduğunu tesbit ederek,
b) Siyah olmayan şeylerin, aynı zamanda kuzgun da olmadığını görerek.
          Bilinen şu ki çok sayıda siyah kuzgun ve yine çok sayıda siyah olmayan, aynı zamanda kuzgun da olmayan cisim vardır. Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayız. Kırmızı cisimler için bu uygulama yapılmamışsa "bazı kuzgunlar kırmızı " da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarım" ın itibarını sarsmıştır.

]]> CrystaL Thu, 29 May 2008 18:02:29 -0700 http://www.matematiknet.com/paradokslar/91-euplides-kum-yigini-paradoksu.html http://www.matematiknet.com/paradokslar/91-euplides-kum-yigini-paradoksu.html           Euplides, hiçbir zaman bir "kum yığını" oluşturulamayacağını iddia etmiştir. Çünkü bir kum tanesi, "yığın" değildir. Yanına bir tane daha koyarsak yine yığın oluşmaz. "Kum yığını" olmayan bir şeyin yanına (veya üzerine) kum tanesi koymakla yığın elde edemeyeceğimize göre Hiçbir zaman "kum yığını" oluşturamayız.
          Daha açık bir deyişle: Kabul edelim ki birer birer kum tanelerini biraraya getirelim. Hangi merhaleden sonra kumlar "yığın" oluşturur? Diyelim ki 'bir milyon' adet kum tanesi, bir yığın oluştursun. Dokuzyüz doksandokuzbin dokuzyüz doksandokuzu "kum yığını" kabul edilmeyecek mi? Edersek "1" eksiği de yığın olmaz mı? Yani hangi aşama bizim için "yığın" anlamına gelir?

]]> CrystaL Thu, 29 May 2008 18:05:07 -0700 http://www.matematiknet.com/paradokslar/92-berber-paradoksu.html http://www.matematiknet.com/paradokslar/92-berber-paradoksu.html           Bir berber, bulunduğu köydeki erkeklerden, yalnızca kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş ediyor. Berberi kim traş edecek?
          Kendi kendine traş olsa;  kendisini traş edebildiği için  tanıma ters düşecek. Başkası traş etse; o kişi kendi kendine de traş olabiliyor demektir. (bkz Russel Paradoksu)

]]> CrystaL Thu, 29 May 2008 18:06:42 -0700 http://www.matematiknet.com/paradokslar/93-zeno-paradokslari.html http://www.matematiknet.com/paradokslar/93-zeno-paradokslari.html Zeno, matematik tarihindeki ilk büyük şüphecidir.  Paradoksları matematikçileri yıllarca uğraştırmış ve paradokslarının yol açtığı araştırmalar sonucu matematiğin gelişimine büyük katkı yapmıştır.
  Zeno’nun doğum ve ölüm tarihleri tam olarak bilinmemektedir.  Ancak tahminlere göre Zeno, M.Ö. 495 yılında İtalya’daki bir Yunan kolonisinde doğmuştur.  Doğduğu koloninin ismi Elea olduğundan Elea’lı Zeno olarak bilinir.
  Parmenides adında bir filozofun öğrencisi olan Zeno, hocasına M.Ö 449 yılında Atina’ya yapılan bir yolculukta eşlik etmiştir.  Bu yolculuğun, Zeno’nun geleceği açısından çok önemli olduğu düşünülmektedir.  Elea’ya geri döndüğünde politikaya girmiştir.  Bu dönemde şehrin gaddar yöneticisi olan Nearchus’a düzenlenen bir süikastta yer aldığı iddiasıyla tutuklanmıştır.  Bu suikasttaki rolü yüzünden öldürülene kadar işkenceye maruz kaldığı ve bu şekilde öldüğü söylenir.
  Zeno bir filozof ve mantıkçıydı.  Matematikçi değildi.  Bilinen tek yapıtı Epicheiremata’dır.  Bu eserinde özellikle, hocasının fikirleri ve kendi fikirleri üzerine yazılar bulunmaktadır.
  Zeno’nun asıl ünü paradokslarından gelmektedir.  Zeno’nun 40’a yakın paradoksu olduğu biliniyor fakat günümüze bunlardan yalnızca 8 tanesi kaldı.  Zaten Zeno’nun tek kitabının da tamamı şu anda bulunmamakta.  Kitabının bir bölümü günümüze kadar korunabilmiş.
  Zeno aslında hocası Parmenides’le aynı görüşlere sahip değildi.  Parmenides’in savunduğu felsefe, gerçeğin sadece bir tane ve değişmez olduğunu söylüyordu.  Ona gore, hareket, değişim, zaman ve çokluk kavramları küçük birer hayaldiler.  Zeno’nun paradoksları ise bu görüşün tam tersini kabul ederek yazılmışlardı.  Zeno’ya gore gerçeklik tek değildi, birçok gerçek olabilirdi, gerçek saçmaydı ve tezatlarla doluydu.

]]> CrystaL Thu, 29 May 2008 18:08:33 -0700 http://www.matematiknet.com/paradokslar/94-dichotomy-paradoksu.html http://www.matematiknet.com/paradokslar/94-dichotomy-paradoksu.html Hareket yoktur.  Çünkü bir hareketin olabilmesi için belirli bir zaman diliminde belirli bir mesafenin yapılmış olması gerekir.  Bunun için de istenilen mesafenin önce yarısı, sonar kalan mesafenin yarısı, daha sonra kalanın yarısı vb…gidilmesi gerekir.  Ancak herzaman gidilmemiş bir “kalan yolun yarısı” olacaktır.  Dolayısıyla hareket hiç başlamamıştır.]]> CrystaL Thu, 29 May 2008 18:10:03 -0700 http://www.matematiknet.com/paradokslar/95-tavsan-kablumbaga-paradoksu.html http://www.matematiknet.com/paradokslar/95-tavsan-kablumbaga-paradoksu.html Hareketli bir tavşan hiçbir zaman kendisinden ilerdeki hareketli bir kaplumbağayı yakalıyamaz.  Çünkü kağlumbağayı yakalması için öncelikle, seçilen bir anda kaplumbağanın bulunduğu noktaya gelmesi gerekir.  Tavşan o noktaya gelene kadar kaplumbağa biraz daha ilerlemiş olur.  Daha sonra ilerideki kaplumbağanın o anda bulunduğu noktaya gidene kadar kaplumbağa biraz daha ilerler.  Sonuçta kaplumbağa hareketli olduğundan, tavşan, kaplumbağayı asla yakalayamaz.]]> CrystaL Thu, 29 May 2008 18:11:56 -0700 http://www.matematiknet.com/paradokslar/96-ok-paradoksu.html http://www.matematiknet.com/paradokslar/96-ok-paradoksu.html Zaman “an” lardan oluşmuştur.  “An”zamanın en küçük parçasıdır ve bölünemez.  Bir ok hareketli veya hareketsiz olsun, aslında ok hiçbir zaman hareket edemez.  Çünkü hareketin gerçekleşmesi için okun bir anın başlangıcında bir noktada, anın sonunda da başka bir noktada olması gerekir.  Ancak bunun olması için “an” ın bölünebilir olması gerekir ki bu da tanıma gore mümkün değildir.   Dolayısıyla ok aslında hareket etmemiştir.]]> CrystaL Thu, 29 May 2008 18:12:47 -0700 http://www.matematiknet.com/paradokslar/97-russell-paradoksu.html http://www.matematiknet.com/paradokslar/97-russell-paradoksu.html Bertrand Russell'ın paradoksu küme üyeliğine ilişkindir. Bir küme ya kendisinin bir üyesidir, ya da değildir. Kendisinin bir üyesi olmayan kümelere "düzenli" diyelim. Örneğin, "İnsanların kümesi"nin kendisi, bir insan olmadığı için, nkendisinin bir üyesi değildir. Kendisini içeren kümeleri "düzensiz" olarak adlandıralım. Örneğin "beş elemandan fazla elemanı olan kümelerin kümesi" düzenli midir yoksa düzensiz midir? Eğer düzenliyse; kendinin bir üyesi olamaz. Tüm düzenli kümeleri içerdiğine göre ve kendisinin de düzenli olduğunu kabul ettiğimiz için, kendisini içermelidir. Ama eğer kendisini içeriyorsa, tanıma göre düzensizdir. Düzenli olduğunu varsayıp, düzensiz olduğu çelişkili sonucuna vardık. Diğer taraftan, eğer düzensiz ise, kendisini elemanı olarak içerir. Ama elemanlarının sadece düzenli kümeler olduğunu biliyoruz. Demek ki düzensiz ise düzenli olduğu sonucu ortaya çıkıyor. Russell Paradoksu, Alman Matematikçi Gottlob Frege'e büyük bir darbe indirmiştir. Frege, bu paradoksu öğrendiğinde, aritmetiğin mantıksal gelişimi hakkındaki kitabının ikinci cildini yeni bitirmişti. II.cildin ek bölümü şöyle başlar: "Bir bilim insanı için en üzücü olay, yapıtı tam bitmişken temellerinin çökmesidir. Bertrand Russell'ın bana gönderdiği mektup sonucunda, bu duruma düştüm..." 
]]> CrystaL Thu, 29 May 2008 18:18:45 -0700