matematiknet.com

Albert Einstein (1879 - 1955)

 “Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceği hayaline boşuna kapılmasın!”

  (Genel Rölativite Kuramı’nda Öklid geometrisi değil, Riemann geometrisi kullanan Einstein’ın Öklid’in Elemanlar isimli kitabına ilişkin yargısı)

Bertrand Russell (1872 - 1970)

“Elementler’e bugüne değin yazılmış en büyük kitap gözüyle bakılsa yeridir. Bu kitap gerçekten Grek zekâsının en yetkin anıtlarından biridir. Kitabın Greklere özgü kimi yetersizlikleri yok değildir.”

Öklid’i bu kitapları hangi düşüncelerle yazdığını bilmemize imkân yoktur, ancak aşağıda belirttiğimiz dört hususun onu bu kitapları yazmaya teşvik ettiği düşünülmektedir:

• 1) Matematik konularında belirsiz kalan anlam ve ilişkilere açıklık getirmek,
• 2) İspatta başvurulan öncülleri (varsayım, aksiyom veya postulatları) ve çıkarım kurallarını belirlemek,
• 3) Ulaşılan sonuçların doğruluğuna mantıksal geçerlik kazandırmak,
• 4) Geometriyi, simgesel bir  düzeye getirmek.

TANIMLAR

Tanım 1: Nokta parçası olmayan bir şeydir.

Tanım 2: Doğru genişliği olmayan bir uzunluktur.

Tanım 3: Doğrunun ucunda yer alan elemanlar noktalardır.

Tanım 4: Düz doğru sadece kendi noktalarını üzerinde bulunduran bir doğrudur.

Tanım 5: Yüzey sadece uzunluğu ve genişliği olan bir şeydir.

Tanım 6: Yüzeyin ucunda yer alan elemanlar doğrulardır.

Tanım 7: Düzlemsel yüzey, sadece kendi üzerindeki düz doğrulardan ibaret olan yüzeydir.

Tanım 8: Düzlemsel açı düzlemde aynı doğru üzerinde bulunmayan kesişen iki doğrundan birinin diğerine doğru meyletmesiyle (kesişme noktası etrafında dönüp diğerine ulaşmasıyla) oluşur.

Tanım 9: Ve  bir açı tarafından kapsanan doğrular bir doğru üzerinde olduğunda, açıya doğru açı adı verilir.

Tanım 10: Bir düz doğru üzerine başka bir düz doğru ile bir açı oluşturulduğunda komşu açıların her biri diğerine eşitse, eşit olan bu açılardan her biri dik açıdır ve birbiri üzerine kurulu olan açıyı oluşturmada kullanılan doğrulara dik doğrular adı verilir.

Tanım 11: Dik açıdan büyük olan açılara geniş açı denir.

Tanım 12: Dik açıdan küçük olan açılara dar açı denir.

Tanım 13: Bir şeyin sınırı onun ucundaki elemanlardan oluşur.

Tanım 14: Herhangi bir sınırın ya da sınırların bir parçasına şekil denir.

Tanım 15: Çember, bir nokta etrafında döndürüldüğünde aynı doğru ile çakışan doğruların döndürülme noktasına aynı uzaklıktaki  noktalardan oluşan  düzlemsel şekildir.

Tanım 16: Ve doğruların döndürüldüğü noktaya çemberin merkezi denir.

Tanım 17: Çemberin çapı, merkezden geçen ve her iki yönde çemberin çevresi ile sınırlı olan doğrudur, ve böyle bir doğru çemberi ikiye eşit parçaya ayırır.

Tanım 18: Yarıçember, çap ve onun çemberden ayırdığı çevreden oluşan şekildir. Ve yarıçemberin merkezi olarak ta çemberin merkezi alınır.

Tanım 19: Düz doğrular tarafından kapsanan şekillere doğrusal şekiller, üç doğru tarafından kapsanan şekillere üçgensel şekiller, dört doğru tarafından kapsanan şekillere dörtgensel şekiller ve dörtten fazla doğru tarafından kapsanan şekillere çokgensel şekiller denir.

Tanım 20: Üçgensel şekillerden üç kenarı da eşit olanına eşkenar üçgen, yalnızca iki kenarı eşit olanına ikizkenar üçgen, üç kenarı da farklı uzunlukta olan üçgene de çeşitkenar üçgen denir.

Tanım 21: Daha fazlası, bir dik açıya sahip olan üçgene dik üçgen, bir geniş açıya sahip olan üçgene geniş açılı üçgen, üç açısı da dar açı olan üçgene dar açılı üçgen denir.

Tanım 22: Dörtgensel şekillerden, tüm kenarları eşit ve tüm açıları dik açı olanlarına kare,  tüm açıları dik olan ama tüm kenarları eşit olmayanlarına dikdörtgen, karşılıklı kenarları ve açıları eşit olan fakat tüm kenarları eşit olmayan ve dik açısı bulunmayanlarına paralelkenar denir. Ve burada sayılanların dışında kalan dörtgensel şekillere ise yamuk adı verilir.

Tanım 23: Aynı düzlemde bulunan ve her iki yönde sonsuza uzanan düz doğrular eğer birbirlerini hiçbir yönde kesmiyorsa bu doğrulara paraleldirler denir.

POSTÜLATLAR

Postülat 1: Herhangi bir noktadan diğer bir noktaya düz doğru çizilebilir.

Postülat 2: Bir düz doğru içinde sürekli bir sonlu doğru çizilebilir.

Postülat 3: Herhangi bir merkez ve uzunluk yardımıyla çember çizilebilir.

Postülat 4: Tüm dik açılar birbirine eşittir.

Postülat 5: Eğer bir düz doğru iki düz doğruyu kesiyor ve bu kesişimde aynı taraftaki iç açılarının toplamı iki dik açıdan küçük ise eğer bu iki doğru sonsuza kadar uzatılırsa açıların iki dik açıdan küçük olduğu tarafta kesişirler.

ORTAK GÖSTERİMLER

Ortak gösterim 1: Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir.

Ortak gösterim 2: Eşit olan şeylere eşit şeyler eklendiğinde bulunanlar (toplamlar) da eşittir.

Ortak gösterim 3: Eşit şeylerden eşit şeyler çıkarıldığında kalanlar da eşittir.

Ortak gösterim 4: Başka bir şeyle özdeş olan şeyler o şeye eşittir.

Ortak gösterim 5: Bütün parçalarından büyüktür.

TEOREMLER

Teorem 1: Verilen bir sonlu düz doğru üzerine eşkenar üçgen inşa edilebilir.

Teorem 2: Verilen bir noktadan (bu noktayı uç kabul eden), verilen bir düz doğruya eşit olan bir düz doğru çizilebilir.

Teorem 3: Verilen iki eşit olmayan düz doğrudan büyük olanından küçük olanına eşit düz doğru kesilebilir.

Teorem 4: Eğer iki üçgenin ikişer kenarları ve bu kenarlar arsındaki açıları eşit ise bu üçgenlerin tabanları da eşit olacaktır ve dolayısıyla üçgenler birbirine eşit olacaktır ve böylece kalan açıları da eşit olur, yani eşit kenarlardaki açıları eşit olur.

Teorem 5: Taban açıları eşit olan ikizkenar üçgenlerin ikiz olan kenarları tabandan eşit miktarda uzatılırsa oluşan yeni üçgenin tabanındaki açılar birbirine eşit olacaktır.

Teorem 6: İki açısı eşit olan bir üçgende, eşit olan açıları birleştirmeyen diğer kenarlar birbirine eşittir.

Teorem 8: Eğer iki üçgenin ikişer kenarları ve tabanları eşitse eşit olan kenarları üzerindeki açıları da eşittir.

Teorem 9: Verilen bir açı iki eşit açıya bölünebilir.

Teorem 10: Verilen sonlu bir düz doğru iki eşit parçaya bölünebilir.

Teorem 11: Verilen bir doğru üzerinde verilen bir noktada dik açı çizilebilir.

Teorem 12: Verilen sonlu olmayan bir doğruya, bu doğru üzerinde olmayan bir noktadan geçen ve verilen doğruya dik olan doğru çizilebilir.

Teorem 13:  Bir düz doğru üzerine açı yapacak biçimde kurulan başka bir düz doğru yardımıyla oluşan açılar ya dik açıdırlar ya da toplamları iki dik açı olur.

Teorem 14: Herhangi bir düz doğru üzerindeki bir noktada aynı tarafta kalmayan  ve toplamları iki dik açı olan bir açı oluşturacak iki doğru çizilirse bu iki düz doğru aynı sozsuz doğru üzerindedir.

Teorem 15: Kesişen iki düz doğrunun oluşturduğu köşe açılar birbirine eşittir.

Teorem 16: Bir üçgende kenarlardan biri uzatılıp bir dış açı oluşturulursa bu dış açı iç ve karşı açıların ikisinden de büyüktür.

Teorem 17: Herhangi bir üçgende alınan iki iç açı iki dik açıdan daha küçüktür.

Teorem 18: Herhangi bir üçgende büyük kenar karşısındaki açı da büyüktür.

Teorem 19: Herhangi bir üçgende büyük açı karşısındaki kenar da büyüktür.

Teorem 20: Bir üçgende herhangi iki kenar birlikte diğer kenardan daha büyüktür.

Teorem 21: Bir üçgenin bir kenarının uç noktalarından çizilen ve üçgenin içinde kesişen iki doğru ile oluşturulan üçgenin diğer kenarları ilk üçgenin kenarlarından daha küçüktür fakat daha büyük bir açı bulundurur.

Teorem 23: Verilen bir doğru ve üzerindeki bir nokta yardımıyla verilen bir açıya eşit olan açı oluşturulabilir.

Teorem 24-45: Paralellik ve paralelekenarla ilgili teoremler.

Teorem 46: Verilen  düz doğru yardımıyla bir kare oluşturulabilir.

Teorem 47: Dik açılı üçgenlerde dik açının karşısındaki kenar üzerine kurulan kare, diğer kenarlar üzerine kurulan karelerin toplamına eşittir.