6 , 28 ,496 gibi kendisi hariç bütün pozitif çarpanları toplamı kendisine eşit olan sayılara denir. Mükemmel sayılar sonsuz tanedirler. Genel formülleri henüz bulunamamıştır. Ancak 2ⁿ(2ⁿ⁺¹-1), sayısının her n çift sayısı ve 1 için mükemmel sayı olduğu görülebilir. Tabi buradan mükemmel sayıların çift sayı oldukları anlamı çıkmamaktadır. Yani bu formülün tüm mükemmel sayıların ortak formülü olup olmadığı bilinmemektedir. Ancak şu ana kadar bir tane tek mükemmel sayı bulunamamıştır...

İlk 10 mükemmel sayı : 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216 ...

Mükemmel Sayılar, tam kesin olmamakla birlikte,eski Mısır döneminde üzerinde çalışılmış sayılardır.Eğitiminin ciddi bir bölümünü Mısır'da yapmış olan Pitagoras ve ardıllarının mükemmel sayılar üzerinde çalıştıkları kesin. Mükemmel sayıların ilk dördü( 6, 28, 496,8128), o zamanlar bilinen yegane mükemmel sayılardı. Bu konuda yazılı kayıtlarda ilk sonuca MÖ 300'lerde Euclid'in Elements adlı eserinin IX. Kitap'ında rastlanmaktadır. Orada şöyle diyor:
İstediğimiz kadar sayıyı 2'ye katlayarak toplayalım. Toplam asal sayı olduğunda, bu asal sayıyı son sayıyla çarpalım, çıkan sayı mükemmel sayıdır.
Söyleneni örneklerle gösterelim:1+2=3; 3 asal sayı; 3x2=6.; 6 mükemmel sayı. Ya da 1+2+4=7; 7 asal sayı; 7x4=28 mükemmel sayı. Veya 1+2+4+8+16=31 asal sayı; 31x16=496 mükemmel sayı.

Genel kural olarak; Eğer herhangi bir k>1 için 1+2+4+...+2k-1 =2k-1 asal ise; o zaman 2k-1(2k-1) bir mükemmel sayıdır. MS 100 civarında, Nicomachus diğer şeylerin yanında, ispat gereği duymadan, mükemmel sayılarla ilgili şu özellikleri sıralıyor:
1- N.ci. mükemmel sayının n basamağı vardır.(1. Sayı 6, 2. sayı 28, 3.sayı 496, 4. sayı 8128) dikkat edelim ki henüz 5. mükemmel sayının kaç olduğu bilinmiyor. 2- Bütün mükemmel sayılar çifttir(sizin iddianız bu özelliği yok ediyor) 3- Bütün mükemmel sayılar, sırasıyla 6 ve 8 ile biterler). 4- Herhangi bir k>1 için 2k-1 asal ise 2k-1(2k-1) bir mükemmel sayıdır ve mükemmel sayıların hepsini üreten bir algoritmadır. 5- Sonsuz sayıda mükemmel sayı vardır.

Takip eden yüzyıllarda mükemmel sayılar konusuna gönül veren birçok matematikçi oldu. Yazılı kayıtlarda 4.'den sonraki mükemmel sayılara Arap matematikçi İsmail İbn İbrahim İbn Fallus'da(1194-1239) rastlıyoruz. Verdiği 10 mükemmel sayının ilk 7 tanesi doğru, 3 tanesi hatalı. Nihayet 1536'da İtalyan matematikçi Pietro Cataldi, 211-1 sayısının asal olmadığını(23.89=2047) gösterdi. Bir asal sayı olan 213-1=8191 'dan hareketle, 212(213-1)=33550336'nın bir mükemmel sayı olduğunu da buldu. 5. mükemmel sayı 8 basamaklıydı. Nicomuchos'un iddialarından 1., 3., 4. zamanla çürütüldüler. 6. sayı 1555'de J.Scheybl tarafından bulundu ise de 1977'ye kadar farkına varılmadığından mükemmel sayılar konusundaki gelişmelere katkısı olmadı.. 6. mükemmel sayıyı tekrar ve Scheybl den bağımsız olarak bulan gene Cataldi(1603) idi: 216(217-1)=8589869056. Bu sıra 8 de olmasına rağmen tekrar 6 ile biten bir mükemmel sayıydı. Cataldi 7. mükemmel sayıyı da bulan matematikçi oldu: 218(2191)=137438691328. Mükemmel sayılarla ilgili çalışan matematikçilere Pierre de Fermat, Rene Descartes ve Marin Mersenne gibi ünlüleri de dahil edelim. Bu çalışmalar sırasında Mersenne Asalları'nın da bulunduğunu, Fermat'nın küçük teoremi adıyla ünlü teoremin bu çalışmaların eseri olduğuna değindikten sonra, 8. mükemmel sayıyı bulan Euler'e gelelim: Euler, kendinden önceki matematikçilerden farklı olarak, tek mükemmel sayıların da olabileceğini ileri sürdü. Günümüze kadar bu konuda yapılmış olan çalışmalar, ne bu iddianın doğruluğunu ne de yanlışlığını ispatlamaya yetmemiştir. Günümüze kadar 44 adet mükemmel sayı(hepsi çift, hepsi 6 veya 8 ile bitiyor-ama sırayla değil) bulunmuştur. 44. mükemmel sayının 19 milyondan fazla basamağı vardır. Mükemmel sayıların tarihi kısaca böyle. 45.cı mükemmel ve ilk tek için sayınızı bekliyoruz. Bu arada söylemeden geçmeyelim; Batı'da mükemmel sayılara gösterilen tutkunun gerisinde ilk sayı olan 6'nın tanrının dünyayı 6 günde yaratmış olması inancı ve Ay ayının 2. sayı kadar, yani 28 gün olması da var.

İlk 4 mükemmel sayı için şu ilişkiler geçerlidir: