matematiknet.com

ÜNLÜ SAYILAR

Fizik ve Kimya'da bazı katsayılara, bazı sabitlere alışığız. Avagadro sayısını, ışığın hızını veri olarak kabul ediyoruz. Nereden geliyor bu sayılar demiyoruz. Ancak, matematiğin öyle deyip geçemeyeceğini de aklımızda tutalım. Pi sayısını ya da e sayısını düşünün. Ne kadar önemli sayılar. İyi de, bazı sayılar diğerlerinden niçin daha önemli. Hikayelerine, önemlerine etraflıca bakacağız.

SIFIR
Sıfır(0) Arapça şafira ya da şifr , Sanskritçe sünya, İngilizce zero(nil-null). Boş, hiç olan; ya da herhangi bir şey olmayan. Batı dillerindeki şifre sözcüğünün kökeni. Günümüz sayı sisteminin merkezine, hangi serüvenleri izleyerek gelip oturduğu aşağı yukarı biliniyor. Matematiğin tarihi,bu sayının, Hint kökenli olduğundan hemen hemen emin. Basamak yerine ilk kullanımı, çok eskilere gitmesine rağmen, bu günkü anlamdakine en yakın kullanımı, Hint matematikçi Brahmagupta'nın Brahmasputha Siddhanta adlı eserinde anlatılmaktadır. MS 628 tarihini taşıyan bu eserinde Brahmagupta, sıfır ile dört işlemin kurallarını sıralar. Toplama, çıkarma ve çarpmada sorunsuz sıyrılan Brahmagupta, bölmede zorlanmaktadır. Şöyle diyor:
"-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayının sıfır ile bölünmesi durumunda, sonuç paydasında sıfır bulunan bir kesirdir".
"-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayı tarafından bölünen sıfır, ya sıfırdır veya payında sıfır, paydasında bir sayı bulunan kesirdir."
"-Sıfır bölü sıfır, sıfırdır."
Daha sonraki yıllarda tanımsız olarak kabul edilen sıfırla bölme işlemi gerçekten hala kafalarımızı karıştırmaya devam ediyor. Halbuki sıfır'ın bir sayıyla bölünmesinde hiçbir sorun yok. Sıfır bölü sıfır ise sıfır değil; o da tanımsız.
Günümüzde kullandığımız sayı sistemine Hint-Arap sayı sistemi diyoruz. Ondalık basamaklı sayı sistemi, Hindistan'dan Arap yarımadasına, oradan da İslam İmparatorluğu'nun genişlemesine parelel olarak Kuzey Afrika ve Endülüs üzerinden Avrupa'ya ulaşmıştır. Kendisi Becaiye'de (Cezayir) yetişmiş olan ünlü matematikçi Fibonacci, 1202 de yayınladığı Liber Abaci adlı eserinde bu sistemi Avrupa'ya tanıtmıştır.
Sıfır'ın, ya da daha hoş yakıştırmayla ŞİFRE'nin hikayesi bu kadar kısa değil elbet. Ayrıntıları merak ediyorsanız, www.mathforum.org sitesini ziyaret edebilirsiniz.
Herhangi bir sayının sıfırla çarpımı sıfır olduğu için, sıfırın yutan eleman görevi gördüğünü söylemişsiniz. Sanki kara delikmiş gibi. Oysa duruma şöyle bakalım:
3*2=2+2+2=6 olarak yazılabilir. Benzer şekilde m*0=0+0+...+0(m tane 0'ın toplamı)=0 olur. Burada anlaşılma kolaylığı için m'yi sonlu bir pozitif tam sayı olarak kabul edelim. Sıfır m'yi yutmuyor; m tane sıfır toplanınca sonuç sıfır çıkıyor. Ya da:
m*0=m*0+(m-m)=m*0+m*1-m=m(0+1)-m=m*1-m=m-m=0 m burada sonlu herhangi bir sayı.
Şifrenin şifresi: Yoktan yonga kopmaz

Pİ SAYISI:

Pi nedir:

Matematikçi: "Pi, bir dairenin çevresinin çapına oranıdır."
Bilgisayar Programcısı: "Pi 3,14159265389 dur"
Fizikçi: "3,14159artı eksi 0,000005'tir"
Mühendis: "Yaklaşık 22/7'dir"

Pi'yi Nasıl Hesaplarız
Tahmin edebileceğiniz gibi, artık Π sayısının hesaplamak için elimizde pek çok seçenek var. Örneğin,18 no'lu soruda trigonometri fonksiyonları kullanılarak bu hesabın nasıl yapılabileceği belirtilmiş. Orada: sin^-11=Π/2 ve cos^-10=Π/2 eşitliklerinin sol tarafları için Taylor serisi açılımı kullanılarak, Π'nin değerinin istenilen duyarlılıkla hesaplanabileceği gösterilmiş.
Ancak, sizin burada sorduğunuz sorunun, bu hesabın, daire ve çap ilişkisi kullanılarak nasıl yapılabileceğinin, ya da tarihsel olarak nasıl yapıldığının açıklanması olduğunu varsayıyorum.
Bir dairede, dairenin alanı ile çap arasında, ya da dairenin çemberi ile çap arasında sabit bir oranın var olduğu, ilk kimler tarafından ve ne zaman keşfedildi, bu kesin olarak bilinmiyor. Elimizdeki en eski kayıtta, M.Ö 1650 civarında Ahmes adlı Eski Mısır'lı bir katibin yazmış olduğu ve Rhind Papirüsü adı verilen belgede, şöyle deniliyor: "Çapın 1/9'unu kes ve kalanının üstüne bir kare çiz; bu alan dairenin alanının aynısıdır." Burada, dairenin alanı ile çap arasında sabit bir oranın varlığı belirtilmiş olmakla birlikte, günümüzdeki anlamda bir ? sayısının varlığının bilincinde olunduğu kuşkulu. Bu öneri doğrultusunda elde edilecek olan sonuç, karenin kenarı x=8(2r)/9 olduğuna ve alanı x²=64.(4r²)/81 olacağına göre, bu alan dairenin alanına eşitlendiğinde, 256r²/81= Πr² veya Π=256/81=3,16005 olarak karşımıza çıkar. Fena bir yaklaştırma değil. Öte yandan, söz konusu karenin çevresi, L=4x=64r/9 olur. Bunu dairenin çevresine eşitleyecek olursak, L=2Πr eşitliğinden, 64r/9=2Πr veya Π=32/9=3,55555 elde ederiz. Bu yaklaştırma, alanların eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü. Eski Mısır'lıların bu hesabı yapıp yapmadıklarını bilmiyoruz, ancak kendimiz bu hesabı yaparsak Π=256/81 buluyoruz. Matematik tarihçileri arasında genel kanı, Eski Mısırlıların, çemberin uzunluğunun çapın uzunluğuna oranını 256/81=3,16049. olarak kabul ettikleri şeklindedir. Bu sayı, bugün 54 milyar basamağa kadar hesaplanmış olan Π jsayısının ilk 5 basamağının 3,14159 olduğunu hatırlarsak, Π sayısının değerinin hesaplanmasındaki hata oranının, daha M.Ö. 1650'lerde yüzde 1'in altına düşmüş olduğu anlamına geliyor. Eski Grek'ler döneminde, Anaksagoras (M.Ö. 500-428) ile başlayıp Antiphon ve Bryson ile devam eden çalışmalarda, bir çemberin içine çizilen eşit kenarlı çokgenlerin alanıyla Π sayısının hesaplanması çalışmaları başladı.

Açalım:

Şekil'de yarıçapı r olan bir dairenin içine bir kare oturtulmuş. Bu kareyi, daireye bir yaklaştırma olarak düşünüyoruz. ABC üçgeni ikizkenar olduğundan, karenin yarım kenar uzunluğu a=r/√2'dir. Bu durumda karenin çevresi L=8a=4√2r, alanı A=(2a)²=(√2r)²=2r² olur. Karenin çevresini, dairenin çemberine eşitlersek, L=2Πr eşitliğinden, 4√2r=2Πr veya Π=2√2 elde ederiz. Bu yaklaştırma bize, Π=2,828427 verir. Halbuki, karenin alanını dairenin alanına eşitlediğimizde, A= Πr² eşitliğinden, 2r²= Πr², yani Π=2 elde ederiz. Bu yaklaştırma, çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü.

Şimdi yaklaştırmamızı bir adım daha ileri götürmek üzere, bu sefer dairenin içine, bir kare yerine, eşkenarlı bir sekizgen oturtalım. Alttaki 2 numaralı şekilde bu durum görülüyor. Eşkenarlı sekizgenin kareye göre fazlalık alanları sarı renkle tonlandırılmış. AD uzunluğu r'ye eşit ve a=r/√2 olduğuna göre; BCD üçgeninin yüksekliğinin b=r-r/√2 olması gerekir. BC kenarının uzunluğu a=r/√2 olduğuna göre, BD kenarının uzunluğunun karesi a²+b² = r²/2+ (r²+ r²/2- 2r²/√2)=2r²-√2r²=(2-√2)r² olur. O halde BD'nin uzunluğu |BD|=(2-√2)½ r'dir. Sekizgenin çevresi bunun 8 katı, yani L=8.(2-√2)½ r'ye eşittir. Bunu dairenin çevresine eşitlersek, L= L=2Πr eşitliğinden, 8.(2-√2)½ r = 2Πr veya Π=4.(2-√2)½ elde ederiz. Bu yaklaştırma bize, Π=3,06146 verir. Bir önceki yaklaştırmadan daha iyi.

Öte yandan, BCD üçgeninin alanı a.b/2= (r/√2).(r-r/√2)/2=r²/2√2- r²/4 olur. Sekizgenin alanını elde etmek için, karenin alanına bu üçgenlerden sekizinin alanını eklemek gerekir: A=(2a)²+8.(r²/2√2- r²/4)= 2r²+2√2r²- 2r²=2√2r². Bu alanı dairenin alanına eşitlersek, A= Πr² eşitliğinden, 2√2r²= Πr², yani Π=2√2=2,828427 elde ederiz. Görüldüğü gibi, bu yaklaştırma, çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü, ama kare ile elde edilen yaklaştırmalardan daha iyi bir sonuç. Demek ki, herhangi bir eşkenar çokgenle yaklaştırmada, çevrelerin eşitlenmesi, alanların eşitlenmesinden daha iyi sonuç veriyor gibi. Böyle bir genelleme yapmak mümkün. Bunun nedeni, çokgenlerin çevresinin dairenin çevresine, çokgenlerin alanlarının dairenin alanına yaklaştığından daha hızlı yaklaşıyor olması. Asıl ilginç olanı, sekizgenle yaklaştırmada alanların eşitlenmesiyle elde edilen sonuç, kare ile yaklaştırmada çevrelerin eşitlenmesiyle elde edilen sonucun aynısı. Bunun nedenini de siz düşünüp bulun.

Bir sonraki yaklaştırma aşamasına, dairenin içindeki eşkenar sekizgen, bir eşkenar onaltıgene genişletilerek geçilebilir.

Ancak. Eski Greklerin yaptığı buna benzer çalışmalarda söz konusu sabite, Π sayısı adı verilmiş değildi; yazılarda, çap ile çember uzunluğu arasında çarpan olan "o sabit sayı"dan bahsediliyordu. Düzgün çokgenlerle, köşe sayısını her adımda ikiye katlayarak, hızla daireye doğru yaklaşılabileceği ve düzgün çokgenin alanı hesaplanıp çapa bölünerek Π sayısının giderek daha da yüksek duyarlılıkla hesaplanabileceği yukarıdaki örneklerden de görüleceği üzere, açıktır. Ancak unutulmamalı ki, MÖ 4. yüzyıldan bahsediyoruz: Modern hesap araçlarının yokluğunu bir yana bırakın, büyük hesaplama kolaylığı getirmiş olan 10'lu Hind-Arap sayı sistemi dahi henüz ortalıkta yok.

Aşağıda bu hesaplamaların tarihçesini gösteren bir alıntı var. İlave edeceğimiz tek şey, sıra kendisine geldiğinde Arşimed'in, alanları hesaplamak yerine çevreyi kullanarak Π 'yi hesaplama yöntemini seçmiş olmasıdır.

Sözü uzatmamak için şunu söyleyelim: Sizin sorduğunuz 3,14159... hassasiyetine ulaşanlar Çin'li Tsu Ch'ung-chih ve oğlu Tsu Keng-chih'dir. Çemberin içine tam 24 526 köşeli bir çokgen çizip hesabı yaptılar ve Π'nin değerini 355/113 olarak buldular. Belli ki, düzgün bir altıgenle başlayıp köşe sayısını art arda 12 kez ikiye katlamış olmalılar. Hesaplamadaki yaklaşımın duyarlılık düzeyini görüyorsunuz.

Evet, örneğin bir konserve kutusu alarak çevresini ve çapını ölçüp oranlarsak, Π'ye yakın bir sayı buluruz. Tarihsel yöntem bu idi. Ancak günümüzde Π'nin değeri çok sayıda farklı yöntem ile hesaplanmakta olup, daha öncede belirttiğimiz gibi 54 milyar basamaktan daha büyük bir duyarlılıkla hesaplanmış durumda.

Bu arada, "o sabit sayı"ya Π adını, 1650'lerden itibaren birkaç kez kullanıldığı görünmekle birlikte, standard kullanım haline gelmesi, 1737'de Euler'in Π'yi benimsemesinden sonra olmuştur.
pi kronolojisi

Doğum Gününüz Pi'de Gizli
Bilindiği gibi Pi, sonsuz bir rakamlar dizisi. Belirli bir düzende kendisini tekrarlamayan sonlu bir çok alt dizilerden oluşur. Bu sonlu alt dizilerin kümesi, hemen tahmin edebileceğiniz üzere, sonsuz eleman taşımakla kalmaz, aynı zamanda muhtemel bütün sonlu alt dizileri de içinde taşır. Bu özelliği nedeniyle de sizin ya da sevgilinizin doğum gününü ggaayy veya ggaayyyy gibi bir dizin olarak yazdığınızda, bunun pi'nin içinde olduğundan emin olabilirsiniz. Şanslı iseniz doğum gününüzün dizisi pi'nin halen bilinen basamakları arasındadır. Şüphesiz doğum gününüzü 6 haneli bir dizi olarak yazarsanız bulma şansınız artar. Eğer Pi'nin hangi basamaklarına gizlenmiş olduğunuzu merak ediyorsanız http://www.angio.net/pi/piquery sitesini bir ziyaret edin!

Aynı şekilde, istediğiniz başka dizileri pi'nin içinde arama şansınız var. Ancak unutmayalım ki, Pi'nin bilinen basamakları 1.2 trilyon civarında ama bunları ağ üzerinde tutmak çok fazla yer tuttuğundan, bulmak kolay değil.
http://www.super-computing.org/pi-decimal_current.html adresinde ilginç gözlemler bulabilirsiniz. Örneğin
ilk 1 milyon basamak içinde, birçok şeyin yanında, şunlar gözlenebiliyor:
0123 - 102 kere
01234 - 8 kere
012345 - 2 kere
0123456-0 kere .

35 Basamak İçin Bir Ömür:
Alman matematikçi Ludolph Van Ceulen'e (1540-1610).
Ömrünü Pi sayısının basamaklarını hesaplamaya adamış Alman matematikçi, 35. haneyi de hesapladıktan sonra, daha yayınlanışını görmeden yaşama veda etti. Mezar taşına pi'nin ilk 35 hanesi yazılıdır. Almanya'da pi sayısına Ludophine sayısı denirdi. Şimdi, 1.2 trilyondan fazla basamağın bilindiği düşünülürse...

Yaşamın Anlamı(42) ve Pi
(Scott Glazer'dan aktarma): 'Arayacak önemli bir sayı bulmaya çabalarken, aklıma 42 geldi. (yaşamın, evrenin, ve Otostopçunun Galaksi Rehberi'ndeki her şeyin yanıtı) 42 doğallıkla çok sıradan olacağı için, ben de 424242'yi seçtim. Ve gördüm kü, bu sayı 242423'cü hanede kendini gösteriyor. Biraz zorlama olacak ama, bir basamak da ondalık virgülü için ekleyelim,al sana 242424; ilk sayımızın tersi. Evet işte bu anlamlı bir sonuç.'

En Popüler Sayılar:
1999-2005 yılları arasında Pi'nin içinde en çok aranan yani en popüler dizi ne idi acaba?
http://www.angio.net/pi/piquery sitesine bu tarihler arasında en fazla 5373 dizisinin yerini bulmak için başvuruldu. 131576 arama ile ikinci 10 dizisinin neredeyse iki katı sayıda arama aldı. Nedeni meçhul.

Kapalı Halka:
Pi'nin sonlu alt dizilerinin ilginçlikleriyle uğraşırken, Dan Skorski, şöyle bir halka keşfetmiş: 169 dizisini aradığında 40. pozisyonda bulmuş. 40'ı 70.'de, 70'i 96.'da ve böylece devam etmiş. Sonuç şöyle: 169, 40, 70, 96, 180, 3664, 24717, 15492, 84198, 65489, 3725, 16974, 41702, 3788, 5757, 1958, 14609, 62892, 44745, 9385, 169, 40... Bir kapalı halka.
20 sayıdan oluşan bir döngü. Buna bezer döngüler başka var mı acaba?

Yerinde Oturanlar:
3 ve virgülü saymazsak, acaba hangi diziler, pi içinde kendi pozisyonlarında oturuyorlar? İlk sayı, yani1 kendi pozisyonunu dolduruyor. Hemen görebiliriz. İlk 100 milyon basamak içinde yerinde oturan sonlu sayı dizileri şunlar:1, 16470, 44899, 79873884.

Pizza:
Pi günü hazırlıklarımızı yaparken, çok acıkmıştık. Pizza ısmarladık. Arkadaşım Korsan pizzanın çapını ve kalınlığını ölçtü ve her birimizin eşit yemesini sağlamak için hacmini hesapladı. Bu ölçülere göre yarıçap z ve kalınlık a olduğuna göre, yediğimiz pizzanın hacmi neydi?